I’m counting on you.
（あなたを）頼りにしてます。
count on には「頼りにする」「任せる」などの意味があります。
count というと、まず思いつくのは「数える」という意味です。
これが、なぜ「頼りにしている」のかよく分からないですね。
count は、確かに「数える」という意味が強いのですが、そもそも「数える」というのは、それが「役に立つ」「数に入れるような重要なもの」という意味合いがあります。
狩猟採集の時代。
狩りに出かけるときに、戦力になりそうな人を数えていた。
そこで、リーダーが「I'm counting on you!」と相手に伝える。
そんなイメージを持つと理解しやすいですね。